Richard Röbel wurde in Karl-Marx-Stadt geborgen. Nach dem Abschluss seines Studiums in den Fächern Kompositon/Musiktheorie/Klavier bei Mark Andre, Manos Tsangaris und John Leigh an der Hochschule für Musik Carl-Maria von Weber Dresden, nahm Richard Röbel ein Studium im Fach historische Tasteninstrumente an der staatlichen Hochschule für Musik Trossingen bei Marieke Spaans, Arthur Schoonderwoerd und Diego Ares auf. Seither beschäftigt er sich intensiv mit den Repertoire für Cembalo sowie Hammerflügel und vertieft sich in die Klangcharakteristiken der verschiedenen Tasteninstrumente.
Als gefragter Kammermusiker und Solist ist er im In- wie Ausland mit zahlreichen Konzerten vertreten. Bereits vor dem Studium war er mehrfacher Preisträger des Bundeswettbewerbes Jugend musiziert und Jugend komponiert und erhielt 2006 das Förderstipendium der Sächsischen Mozart-Gesellschaft e.V. Es folgten 2012 das Deutschlandstipendium der Hochschule für Musik Dresden, 2013 der Förderpreis für junge Komponisten und Musikwissenschaftler sowie 2014 ein zweiter Preis mit dem „trio sostenuto“ beim Hochschulwettberb Felix Mendelssohn Bartholdy.
Er trat als Solist und Kammermusiker bei verschiedenen Konzertreihen (Deutsches Mozartfest, Mendelssohn-Haus Leipzig, Dresdner Zwinger, Donauhallen Donaueschingen und Mozarteum Salzburg) auf und war bei Radioübertragungen im Deutschlandfunk und Deutschlandradio Kultur präsent. Konzertreisen führten ihn nach Frankreich, Litauen, Österreich und die Schweiz. Als Komponist wurden seine Werke von „ensemble recherche“, „auditiv vokal“ und der Dresdner Philharmonie aufgeführt. Er arbeitete als Interpret mit bedeutenden zeitgenössischen Komponisten wie Helmut Lachenmann und Wolfgang Rihm zusammen und hob bereits mehr als zwanzig Werke junger Nachwuchskomponisten aus der Taufe.
Wichtige interpretatorische Anregungen im historischen Bereich erhielt Richard Röbel von Anton Steck, Lars-Ulrik Mortensen, Mayumi Hirasaki, Linde Brunmayer-Tutz und Wolfgang Brunner. Auf modernem Flügel nahm er an Meisterkursen mit Peter Lang, Vladimir Stoupel, Kolja Lessing und Richard Röbel 3 Yukiko Sugawara-Lachenmann teil. Er ist Gründungsmitglied des Ensembles „Accorda“, das sich auf historischen Instrumenten den Werken des Barock und der Wiener Klassik widmet.
Seit 2017 unterrichtet Richard Röbel als Dozent für historische und moderne Musiktheorie an der Staatlichen Hochschule für Musik Trossingen. Seit März 2020 unterrichtet er auch Alte Musik, Cembalo und Klavier am Robert Schumann Konservatorium Zwickau. Zurzeit studiert er im Master Hammerklavier an der Hochschule für Musik und Theater in München bei Prof. Christine Schornsheim.